第一章 矢量分析

1 矢量分析

1. 在球面坐标系中,当ϕ与φ无关时,拉普拉斯方程的通解为:( )。

2. 我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的( ),这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律,除有限个点或面以外,它们都是空间坐标的连续函数。

3. 矢量场

在闭合面

的通量定义为

,它是一个标量;矢量场的( )也是一个标量,定义为

4. 矢量场

在闭合路径

的环流定义为

,它是一个标量;矢量场的旋度是一个( ),它定义为

5. 标量场u (r )中,( )的定义为

,其中n 为

变化最快的方向上的单位矢量。

6. 矢量分析中重要的恒等式有

任一标量的梯度的旋度恒为( )

。 任一矢量的旋度的散度恒为( )

7. 算符▽是一个矢量算符,在直角坐标内,

是个( ),而

是个( ), 是个( )。 ,所以

8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质,分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手,( )方程和( )方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. ( )坐标、( )坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标

10. 标量:( )。如电压U 、电荷量Q 、电流I 、面积S 等。

11. 矢量:( )。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

12. 标量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个标量( )地描述,则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

13. 矢量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个矢量( )地描述,则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

14. 旋度为零的矢量场叫做( )

15. 标量函数的梯度是( ),如静电场

16.无旋场的( )不能处处为零

17. 散度为零的矢量场叫做( )

18. 矢量的旋度是( ),如恒定磁场

19.无散场的( )不能处处为零

20.一般场:既有( ),又有( )

21.任一标量的梯度的旋度恒为( )

22.任一矢量的旋度的散度恒为( )。

23.

给定三个矢量和:

求:(1); (2);

(3); (4); (5)在上的分量: (6); (7); (8)和。

24. 三角形的三个顶点为(0,1,-2) 、(4,1,-3) 和(6,2,5) 。

(1) 判断是否为一直角三角形。

(2) 求三角形的面积。

25. 求

方向。 (-3,1,4) 点到P(2,-2,3) 点的距离矢量及的

26. 给定两矢量上的分量。 和,求

27. 如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量,,而,和已知,试求。

28. 在圆柱坐标中,一点的位置由定出,

求该点在(1)直角坐标中;(2)球坐标中的坐标。

29. 用球坐标表示的场,

(1) 求在直角坐标系中点(-3,4,5) 处的和;

(2) 求与矢量构成的夹角。

30. 球坐标中两个点(

和间夹角的余弦为) 和() 定出两个位置矢量和。证明 提示:,在直角坐标中计算。

31. 一球面S 的半径为5,球心在原点上,计算:的值。

32. 在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域,对矢量

定理。 验证散度

33. 求(1)矢量的散度;

(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分;

(3)求对此立方体表面的积分,验证散度定理。

34. 计算矢量对一个球心在原点,半径为a 的球表面的积分,并求体积的部分。 对球

35. 求矢量沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的

对此回路所包围线积分,此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求

的表面积分,验证斯托克斯定理。

36. 求矢量对此圆面积的积分。 沿圆周的线积分,再计算

37. 证明:(1)

一常矢量。 ,(2),(3),其中为

38. 一径向矢量场用函数会有什么特点呢? ,表示,如果,那么39. 给定矢量函数

的直线分别计算从点吗? 到,试:(1)沿抛物线的线积分;(2)沿连接该两点的值,这个是保守场

40. 求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出;求(2,3,1)点的导数值。

41. 试采用与推导式(1,3,8)相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。

42. 方程

量。 给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢

43. 现有三个矢量场

问:(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示?

(2)求出这些矢量的源分布。

44. 利用直角坐标证明:

45. 证明:

46. 利用直角坐标证明:

47. 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明

,试证明之。

48.求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。

49.求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程 及

x 2+y 2

u =z 50.求数量场在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。

51.设标量函数r 是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模,

即r =, 证明:gradr =r =r ︒. r

52.求r 在M(1,0,1) 处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数

q

4πεr ,其中53.已知位于原点处的点电荷q 在点M(x, y, z)处产生的电位为ϕ=

矢径r 为r=xex+yey+zey,且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ,求电场强度E 。

54.已知矢量场r=xex+yey+zez,求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。

55.在坐标原点处点电荷产生电场,在此电场中任一点处的电位移矢量为 D =q r r ︒(r =ye y =ze z , r =r , r ︒=) r 4πr 求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量

56.原点处点电荷q 产生的电位移矢量

散度。 D =q q r ︒=r 4πr 24πr 3,试求电位移矢量D 的

57.球面S 上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez,求 ⎰⎰S r ⋅dS

58.求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数) 沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量

59.求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1,0,1) 处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。

60.在坐标原点处放置一点电荷q ,在自由空间产生的电场强度为

E =q q r =(xe x +ye y +ze z ) 34πεr 4πεr 3求自由空间任意点(r≠0) 电场强度的旋度▽×E 。

61.在一对相距为l 的点电荷+q和-q 的静电场中,当距离r>>l时,其空间电位ϕ(r , θ, φ) =ql cos θ4πε0r 2的表达式为求其电场强度E(r, θ, φ) 。 B

62.已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求:

(1) 该矢量场的旋度;

(2) 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分,

如图所示, 验证斯托克斯定理。

63.如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量p =A ⋅X P =A ⨯X p 和P 已知,试求X

64.点电荷q 在离其r 处产生的电通量密度为

D =q ˆ+yy ˆ+zz ˆ, r =(x 2+y 2+x 2) 1/2r , r =xx 34πr 求任意点处电通量密度的散度▽·D ,并求穿出r 为半径的球面的电通量

d ϕ 证明()1∇ϕ(f (r )) =∇f (r ) df dA (2)∇ A (f (r )) = ∇f (r ) 65.df dA (3)∇⨯A (f (r )) =-⨯∇f (r ) df

66.证明:标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面

求证:(1)∇ (ϕA ) =ϕ∇ A +A ∇ϕ67. (2)∇⨯(ϕA ) =ϕ∇⨯A +∇ϕ⨯A

2 ∇⨯∇⨯(ϕA ) =∇ϕ⨯(∇⨯A ) -A ∇ϕ+(A ∇) ∇ϕ68. +ϕ∇⨯(∇⨯A ) +(∇ϕ) ∇ A -(∇ϕ ∇) A

ˆ证明:(n ⨯∇) ⨯AdS =-A 69. ⎰⎰⨯dl S l

70. 证明: 其中:A 为一常矢量

71. 现有三个矢量场 A, B, C

问:(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示;

(2)哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示;

(3)求出这些矢量的源分布。

72. (1) 求矢量

的散度;

(2)求

对中心在原点的一个单位立方体的积分;

(3)求A 对此立方体表面的积分,验证散度定理。

73. 求矢量

沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积

对此回路所包围的分,此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。再求

表面积分,验证斯托克斯定理。

74. 给定矢量函数

,试计算(1) 沿抛物线x =2y2;(2)沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值,这个E 是保守场吗?

75.已知A 、B 和C 为任意矢量,若A ⋅B =A ⋅C ,则是否意味着B 总等于C 呢?试讨论之;试证明:A ⋅(B ⨯C )=B ⋅(C ⨯A )=C ⋅(A ⨯B )。

76. 给定三个矢量A 、B 和C 如下:

A =a x +2a y -3a z B =-4a y +a z C =5a x -2a z

求(1)矢量A 的单位矢量a A ;

(2)矢量A 和B 的夹角θAB ;

(3)A ⋅B 和A ⨯B

(4)A ⋅(B ⨯C )和(A ⨯B )⋅C ;

(5)A ⨯(B ⨯C )和(A ⨯B )⨯C 。

77. 有一个二维矢量场

矢量场图形。 F (r )=a x (-y )+a y (x ),求其矢量线方程,并定性画出该

1(-3, 1, 4)和P 2(2, -2, 3),直角坐标系中写出点P 1、P 2的78. 直角坐标系中的点P

1到P 2的距离矢量的大小和方向,求矢量r 1在r 2的投影。位置矢量r 1和r 2;求点P

79. 写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式,并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。

222()通过点P (1,2,3)的等值面方程。 ψ=ln x +y +z 80. 求数量场

81. 用球坐标表示的场E =a r 25r 2,

求(1)在直角坐标系中的点(-3, 4, -5)处的

B =2a x -2a y +a z E 和E z ; (2)E 与矢量之间的夹角。

82. 试计算S r ⋅d S 的值,式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体,r 为立方体表面上任一点的位置矢量。

23z 83. 求标量场ψ(x , y , z )=6x y +e 在点P (2, -1, 0)的梯度。

2284. 在圆柱体x +y =9和平面x =0、y =0、z =0及z =2所包围的区域,设

此区域的表面为S ,求

(1)矢量场A 沿闭合曲面S 的通量,矢量场A 的表达式为

A =a x 3x 2+a y (3y +z )+a z (3z -x )

(2)验证散度定理。

85.计算C ⎰A ⋅d l 从P (0, 0, 0)到Q (1, 1, 0),其中矢量场A 的表达式为

曲线C 沿下列路径: A =a x 4x -a y 14y 2

(1)x =t ,y =t ;

(2)沿直线从(0, 0, 0)沿x 轴到(1, 0, 0),再沿x =1到(1, 1, 0);

(3)此矢量场为保守场吗?

2A =2+16r a z ,在半径为2和0≤θ≤π2的半球面上计算86. (1)若矢量场2()

⎰A ⋅d S

S 2A =10cos ϕa z ,求穿过xy 平面上半径为2的圆面的值; (2)若矢量场

的通量S ⎰A ⋅d S 。

87. 求矢量A =a x x +a y xy 2222x +y =a 沿圆周的线积分,再求∇⨯A 对此圆周所包围的表面积分,验证斯托克斯定理。

φ=

88. 在球坐标系中,已知标量函数

量场E =-∇φ。

89. 求下列标量场的梯度:

2u =xyz +x (1); p e cos θ4πε0r 2,其中p e 和ε0均为常数,求矢

22u =4x y +y z -4xz ; (2)

3u =5yz +x (3)。

90. 求下列矢量场在给定点的散度:

(1)A =a x x 3+a y y 3+a z (3z -x )

A =a x x 2y +a y yz +a z 3z 2在点P (1, 0, -1);

(2)在点P (1, 1, 0)。

91. 求下列矢量场的旋度:

(1)A =a x x 2+a y y 2+a z 3z 2

A =a x yz +a y xz +a z xy (2)

92. 现有三个矢量场A 、B 和C ,已知

A =a r sin θcos ϕ+a θcos θcos ϕ-a ϕsin ϕ

B =a ρz 2sin ϕ+a ϕz 2cos ϕ+a z 2ρz sin ϕ

C =a x 3y 2-2x +a y 3x 2+a z 2z ()

求(1)哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场?

(2)哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示?哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示?

(3)求出它们的源分布。

93. 已知直角坐标系中的点P (x, y, z )和点Q (x ', y ', z ')求P 点的位置矢量r 和Q 点

⎛1⎫∇ ⎪的位置矢量r ';从P 点到Q 点的距离矢量R ;∇⨯r 和∇⋅r ;⎝R ⎭

94. 证明矢量场A =a x y 2+2xz 2+a y (2xy -z )+a z 2x 2z -y +2z ()()为有势场。

95. 在直角坐标中,证明∇⋅(ψA )=ψ∇⋅A +A ⋅∇ψ

96. 在直角坐标中,证明∇⨯(ψA )=ψ∇⨯A +(∇ψ)⨯A

22297. 求函数φ=3x y -y 在点P (2, 3)处沿曲线y =x -1朝x 增大方向的方向导

数。

A =a x (5+2z )+a y (3x -2)+a z (4x -1)98. 若矢量场试在由半球面

x 2+y 2+z 2=4和平面z =0组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。

99. 在直角坐标中,证明:

一个矢量场的旋度的散度恒等于零,即∇⋅(∇⨯A )≡0;

一个标量场的梯度的旋度恒等于零,即∇⨯(∇ψ)≡0。

2∇100. 试说明:满足拉普拉斯方程ϕ=0的电位函数没有极大值。

101. 给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。

102. 证明:如果 和,则。

1 矢量分析

1. 在球面坐标系中,当ϕ与φ无关时,拉普拉斯方程的通解为:( )。

2. 我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的( ),这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律,除有限个点或面以外,它们都是空间坐标的连续函数。

3. 矢量场

在闭合面

的通量定义为

,它是一个标量;矢量场的( )也是一个标量,定义为

4. 矢量场

在闭合路径

的环流定义为

,它是一个标量;矢量场的旋度是一个( ),它定义为

5. 标量场u (r )中,( )的定义为

,其中n 为

变化最快的方向上的单位矢量。

6. 矢量分析中重要的恒等式有

任一标量的梯度的旋度恒为( )

。 任一矢量的旋度的散度恒为( )

7. 算符▽是一个矢量算符,在直角坐标内,

是个( ),而

是个( ), 是个( )。 ,所以

8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质,分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手,( )方程和( )方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. ( )坐标、( )坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标

10. 标量:( )。如电压U 、电荷量Q 、电流I 、面积S 等。

11. 矢量:( )。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

12. 标量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个标量( )地描述,则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

13. 矢量场:在指定的时刻,空间每一点可以用一个矢量( )地描述,则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

14. 旋度为零的矢量场叫做( )

15. 标量函数的梯度是( ),如静电场

16.无旋场的( )不能处处为零

17. 散度为零的矢量场叫做( )

18. 矢量的旋度是( ),如恒定磁场

19.无散场的( )不能处处为零

20.一般场:既有( ),又有( )

21.任一标量的梯度的旋度恒为( )

22.任一矢量的旋度的散度恒为( )。

23.

给定三个矢量和:

求:(1); (2);

(3); (4); (5)在上的分量: (6); (7); (8)和。

24. 三角形的三个顶点为(0,1,-2) 、(4,1,-3) 和(6,2,5) 。

(1) 判断是否为一直角三角形。

(2) 求三角形的面积。

25. 求

方向。 (-3,1,4) 点到P(2,-2,3) 点的距离矢量及的

26. 给定两矢量上的分量。 和,求

27. 如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量,,而,和已知,试求。

28. 在圆柱坐标中,一点的位置由定出,

求该点在(1)直角坐标中;(2)球坐标中的坐标。

29. 用球坐标表示的场,

(1) 求在直角坐标系中点(-3,4,5) 处的和;

(2) 求与矢量构成的夹角。

30. 球坐标中两个点(

和间夹角的余弦为) 和() 定出两个位置矢量和。证明 提示:,在直角坐标中计算。

31. 一球面S 的半径为5,球心在原点上,计算:的值。

32. 在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域,对矢量

定理。 验证散度

33. 求(1)矢量的散度;

(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分;

(3)求对此立方体表面的积分,验证散度定理。

34. 计算矢量对一个球心在原点,半径为a 的球表面的积分,并求体积的部分。 对球

35. 求矢量沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的

对此回路所包围线积分,此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求

的表面积分,验证斯托克斯定理。

36. 求矢量对此圆面积的积分。 沿圆周的线积分,再计算

37. 证明:(1)

一常矢量。 ,(2),(3),其中为

38. 一径向矢量场用函数会有什么特点呢? ,表示,如果,那么39. 给定矢量函数

的直线分别计算从点吗? 到,试:(1)沿抛物线的线积分;(2)沿连接该两点的值,这个是保守场

40. 求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量定出;求(2,3,1)点的导数值。

41. 试采用与推导式(1,3,8)相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。

42. 方程

量。 给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢

43. 现有三个矢量场

问:(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示?

(2)求出这些矢量的源分布。

44. 利用直角坐标证明:

45. 证明:

46. 利用直角坐标证明:

47. 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明

,试证明之。

48.求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。

49.求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程 及

x 2+y 2

u =z 50.求数量场在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。

51.设标量函数r 是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模,

即r =, 证明:gradr =r =r ︒. r

52.求r 在M(1,0,1) 处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数

q

4πεr ,其中53.已知位于原点处的点电荷q 在点M(x, y, z)处产生的电位为ϕ=

矢径r 为r=xex+yey+zey,且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ,求电场强度E 。

54.已知矢量场r=xex+yey+zez,求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。

55.在坐标原点处点电荷产生电场,在此电场中任一点处的电位移矢量为 D =q r r ︒(r =ye y =ze z , r =r , r ︒=) r 4πr 求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量

56.原点处点电荷q 产生的电位移矢量

散度。 D =q q r ︒=r 4πr 24πr 3,试求电位移矢量D 的

57.球面S 上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez,求 ⎰⎰S r ⋅dS

58.求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数) 沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量

59.求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1,0,1) 处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。

60.在坐标原点处放置一点电荷q ,在自由空间产生的电场强度为

E =q q r =(xe x +ye y +ze z ) 34πεr 4πεr 3求自由空间任意点(r≠0) 电场强度的旋度▽×E 。

61.在一对相距为l 的点电荷+q和-q 的静电场中,当距离r>>l时,其空间电位ϕ(r , θ, φ) =ql cos θ4πε0r 2的表达式为求其电场强度E(r, θ, φ) 。 B

62.已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求:

(1) 该矢量场的旋度;

(2) 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分,

如图所示, 验证斯托克斯定理。

63.如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积,那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量p =A ⋅X P =A ⨯X p 和P 已知,试求X

64.点电荷q 在离其r 处产生的电通量密度为

D =q ˆ+yy ˆ+zz ˆ, r =(x 2+y 2+x 2) 1/2r , r =xx 34πr 求任意点处电通量密度的散度▽·D ,并求穿出r 为半径的球面的电通量

d ϕ 证明()1∇ϕ(f (r )) =∇f (r ) df dA (2)∇ A (f (r )) = ∇f (r ) 65.df dA (3)∇⨯A (f (r )) =-⨯∇f (r ) df

66.证明:标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面

求证:(1)∇ (ϕA ) =ϕ∇ A +A ∇ϕ67. (2)∇⨯(ϕA ) =ϕ∇⨯A +∇ϕ⨯A

2 ∇⨯∇⨯(ϕA ) =∇ϕ⨯(∇⨯A ) -A ∇ϕ+(A ∇) ∇ϕ68. +ϕ∇⨯(∇⨯A ) +(∇ϕ) ∇ A -(∇ϕ ∇) A

ˆ证明:(n ⨯∇) ⨯AdS =-A 69. ⎰⎰⨯dl S l

70. 证明: 其中:A 为一常矢量

71. 现有三个矢量场 A, B, C

问:(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示;

(2)哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示;

(3)求出这些矢量的源分布。

72. (1) 求矢量

的散度;

(2)求

对中心在原点的一个单位立方体的积分;

(3)求A 对此立方体表面的积分,验证散度定理。

73. 求矢量

沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积

对此回路所包围的分,此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。再求

表面积分,验证斯托克斯定理。

74. 给定矢量函数

,试计算(1) 沿抛物线x =2y2;(2)沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值,这个E 是保守场吗?

75.已知A 、B 和C 为任意矢量,若A ⋅B =A ⋅C ,则是否意味着B 总等于C 呢?试讨论之;试证明:A ⋅(B ⨯C )=B ⋅(C ⨯A )=C ⋅(A ⨯B )。

76. 给定三个矢量A 、B 和C 如下:

A =a x +2a y -3a z B =-4a y +a z C =5a x -2a z

求(1)矢量A 的单位矢量a A ;

(2)矢量A 和B 的夹角θAB ;

(3)A ⋅B 和A ⨯B

(4)A ⋅(B ⨯C )和(A ⨯B )⋅C ;

(5)A ⨯(B ⨯C )和(A ⨯B )⨯C 。

77. 有一个二维矢量场

矢量场图形。 F (r )=a x (-y )+a y (x ),求其矢量线方程,并定性画出该

1(-3, 1, 4)和P 2(2, -2, 3),直角坐标系中写出点P 1、P 2的78. 直角坐标系中的点P

1到P 2的距离矢量的大小和方向,求矢量r 1在r 2的投影。位置矢量r 1和r 2;求点P

79. 写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式,并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。

222()通过点P (1,2,3)的等值面方程。 ψ=ln x +y +z 80. 求数量场

81. 用球坐标表示的场E =a r 25r 2,

求(1)在直角坐标系中的点(-3, 4, -5)处的

B =2a x -2a y +a z E 和E z ; (2)E 与矢量之间的夹角。

82. 试计算S r ⋅d S 的值,式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体,r 为立方体表面上任一点的位置矢量。

23z 83. 求标量场ψ(x , y , z )=6x y +e 在点P (2, -1, 0)的梯度。

2284. 在圆柱体x +y =9和平面x =0、y =0、z =0及z =2所包围的区域,设

此区域的表面为S ,求

(1)矢量场A 沿闭合曲面S 的通量,矢量场A 的表达式为

A =a x 3x 2+a y (3y +z )+a z (3z -x )

(2)验证散度定理。

85.计算C ⎰A ⋅d l 从P (0, 0, 0)到Q (1, 1, 0),其中矢量场A 的表达式为

曲线C 沿下列路径: A =a x 4x -a y 14y 2

(1)x =t ,y =t ;

(2)沿直线从(0, 0, 0)沿x 轴到(1, 0, 0),再沿x =1到(1, 1, 0);

(3)此矢量场为保守场吗?

2A =2+16r a z ,在半径为2和0≤θ≤π2的半球面上计算86. (1)若矢量场2()

⎰A ⋅d S

S 2A =10cos ϕa z ,求穿过xy 平面上半径为2的圆面的值; (2)若矢量场

的通量S ⎰A ⋅d S 。

87. 求矢量A =a x x +a y xy 2222x +y =a 沿圆周的线积分,再求∇⨯A 对此圆周所包围的表面积分,验证斯托克斯定理。

φ=

88. 在球坐标系中,已知标量函数

量场E =-∇φ。

89. 求下列标量场的梯度:

2u =xyz +x (1); p e cos θ4πε0r 2,其中p e 和ε0均为常数,求矢

22u =4x y +y z -4xz ; (2)

3u =5yz +x (3)。

90. 求下列矢量场在给定点的散度:

(1)A =a x x 3+a y y 3+a z (3z -x )

A =a x x 2y +a y yz +a z 3z 2在点P (1, 0, -1);

(2)在点P (1, 1, 0)。

91. 求下列矢量场的旋度:

(1)A =a x x 2+a y y 2+a z 3z 2

A =a x yz +a y xz +a z xy (2)

92. 现有三个矢量场A 、B 和C ,已知

A =a r sin θcos ϕ+a θcos θcos ϕ-a ϕsin ϕ

B =a ρz 2sin ϕ+a ϕz 2cos ϕ+a z 2ρz sin ϕ

C =a x 3y 2-2x +a y 3x 2+a z 2z ()

求(1)哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场?

(2)哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示?哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示?

(3)求出它们的源分布。

93. 已知直角坐标系中的点P (x, y, z )和点Q (x ', y ', z ')求P 点的位置矢量r 和Q 点

⎛1⎫∇ ⎪的位置矢量r ';从P 点到Q 点的距离矢量R ;∇⨯r 和∇⋅r ;⎝R ⎭

94. 证明矢量场A =a x y 2+2xz 2+a y (2xy -z )+a z 2x 2z -y +2z ()()为有势场。

95. 在直角坐标中,证明∇⋅(ψA )=ψ∇⋅A +A ⋅∇ψ

96. 在直角坐标中,证明∇⨯(ψA )=ψ∇⨯A +(∇ψ)⨯A

22297. 求函数φ=3x y -y 在点P (2, 3)处沿曲线y =x -1朝x 增大方向的方向导

数。

A =a x (5+2z )+a y (3x -2)+a z (4x -1)98. 若矢量场试在由半球面

x 2+y 2+z 2=4和平面z =0组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。

99. 在直角坐标中,证明:

一个矢量场的旋度的散度恒等于零,即∇⋅(∇⨯A )≡0;

一个标量场的梯度的旋度恒等于零,即∇⨯(∇ψ)≡0。

2∇100. 试说明:满足拉普拉斯方程ϕ=0的电位函数没有极大值。

101. 给定两矢量和,求它们之间的夹角和在上的分量。

102. 证明:如果 和,则。


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